МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Для n-мерной случайной величины , n>1 функция рассредотачивания определяется равенством

(8.1)

Дискретная n-мерная случайная величина , принимающая значения может быть задана набором вероятностей

. (8.2)

В случае двумерной величины эти вероятности комфортно представлять в виде таблицы

x1 / x2 Y1 Y2 Yk
X1 P11 P12 P1k
X2 P21 P22 P2k
Xm Pm1 Pm2 Pmk

Непрерывная n-мерная МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН случайная величина может быть задана плотностью рассредотачивания

(8.3)

Функция рассредотачивания выражается через плотность последующим образом:

(8.4)

Возможность попадания непрерывной случайной величины в область D равна интегралу от плотности по D.

Пусть – двумерная случайная величина, при этом воспринимает значения , – значения , и пусть

Тогда для одномерных законов рассредотачивания справедливы формулы

(8.5)

Условный закон рассредотачивания МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН случайной величины при условии, что равно некому Yj , определяется равенством.

(8.6)

Для двумерной непрерывной случайной величины плотность вероятности случайных величин и может быть найдена по формулам

(8.7)

Условная плотность рассредотачивания при условии, что (и ), определяется равенством

(8.8)

Случайные величины независимы, если для всех производится равенство

(8.9)

Для дискретных случайных величин это равенство эквивалентно выполнению соотношения

(8.10)

для непрерывных

(8.11)

при всех МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .

Для двумерной случайной величины ковариация определяется равенством

(8.12)

а коэффициент корреляции равенством

, (8.13)

где - стандартное отклонение x.

Вычислить для дискретных случайных величин можно по формулам

, (8.14)

где - значения - значения .

Для непрерывных справедлива формула

(8.15)

Ковариационная матрица К для n случайных величин определяется соотношением

,

а корреляционная

Тут . Обе эти матрицы симметричны.

Пусть x и h – случайные величины, связанные соотношением МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН , где j - неслучайная функция. Если x – дискретная случайная величина, то закон рассредотачивания h может быть найден из соотношения

, (8.16)

где - огромное количество значений xi , случайной величины x таких, что .

Если x - непрерывная случайная величина, а j - однообразная функция, то плотность и функция рассредотачивания случайной величины могут быть найдены по формулам

, (8.17)

где - функция, оборотная МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН j. В общем область определения нужно разбивать на участки монотонности и использовать подобные формулы.

В этом случае, когда , где - двумерная величина, справедливы равенства

(8.18)

(8.19)

соответственно, для дискретных и непрерывных .

В принципиальном личном случае для дискретных случайных величин и справедливо соотношение

, (8.20)

где значения h; xi; i=1,…,m – значения x. Для непрерывных случайных МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН величин

(8.21)

Плотность вероятности для системы 2-ух обычных случайных величин и (двумерного обычного рассредотачивания) задается равенством

, (8.22)

где - характеристики, при этом

Задачка о лучшем линейном прогнозе

Пусть даны случайные величины , h, определенные на пространстве простых исходов W. Разглядим последующую задачку. Даны определенные значения случайных величин , приобретенные в итоге опыта, и требуется предсказать значение случайной величины h. При всем МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН этом предсказанное значение, которое обозначим через , должно быть линейной функцией , т.е. можно представить в виде

, (8.23)

где - неизменные величины.

Оценка также является случайной величиной, и коэффициенты , минимизирующие дисперсию (при всех значениях ) могут быть найдены как решение системы уравнений

При этом (если система уравнений не имеет решения, то можно МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН выстроить прогноз по части величины ). В случае n=1, т.е. прогноза h по x решение системы уравнений выписывается очевидно и может быть представлено в виде

(8.24)

Задачки

1. Случайная точка на плоскости распределена по последующему закону:

h / x
-1 0,10 0,15
0,15 0,25
0,20 0,15

Отыскать: а) Законы рассредотачивания каждой составляющие x и h.

б) Числовые свойства для (x, h).

2. Случайные величины МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН x и h являются дискретными и независящими. Законы их рассредотачивания даны в виде таблиц:

xi yi
Pi 2/5 1/5 2/5 Pi 1/2 1/6 1/3

Составить закон их совместного рассредотачивания и отыскать его числовые свойства.

3. По цели делается три независящих выстрела. Возможность попадания в цель при каждом выстреле Р=0,7. Случайная величина x есть число МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН попаданий в цель, случайная величина h - число промахов. Составить таблицу рассредотачивания системы случайных величин x и h вычислить числовые свойства.

4. Рассматривается двумерная случайная величина , где - оценка на экзамене по арифметике в первом семестре, - во 2-м. Из долголетнего опыта понятно, что в СибГУТИ ряд рассредотачивания такой:

x1 / x2
0,01 0,3 0,05 0,02
0,05 0,05 0,2 0,04
0,02 0,02 0,04 0,2

1. Выстроить ряд рассредотачивания МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .

2. Отыскать .

3. Понятно, что оценка в первую сессию 5. Предскажите оценку во вторую сессию.

5. Игральную кость подбрасывают дважды. Рассматривают две случайных величины: x1 – число выпадений «единицы», x2 – число выпадений «шестерки». Выстроить ряд рассредотачивания двумерной с.в. и отыскать .

6. Составить закон рассредотачивания суммы и найти ее среднее значение, если воспринимает значения 0, 1, 3 с МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН вероятностями и h воспринимает значения 0,1 с вероятностями и .

7. Из долголетнего опыта понятно, что величина стипендии в неком вузе в первом семестре (x1) и втором (x2) – двумерная величина случайная, задаваемая совместным рядом рассредотачивания.

x2 / x1
0,1 0,05 0,025
0,05 0,4 0,05
0,025 0,05 0,25

Нужно: 1. Найти средний размер стипендии, получаемой студентом на первом курсе.

2. Отыскать коэффициент корреляции.

8. Даны две случайные МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН величины x1 и x2, такие, что . Отыскать математическое ожидание и дисперсию случайной величины и .

9. Понятно, что в некой стране рост и вес студента – случайная величина, подчиняющаяся двумерному нормальному рассредотачиванию, при этом средний рост 175 см, средний вес – 70 кг. Матрица ковариации этих 2-ух случайных величин такая:

.

Нужно: 1. Отыскать коэффициент меж ростом МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН x1 и весом x2.

2. Написать выражение для плотности совместного рассредотачивания x1 и x2.

3. Понятно, что рост студента 190 см. Предскажите его вес.

10. Обосновать, что

11. Пусть x1 - рост мужчины (мальчугана) в возрасте 12, 15, 20 лет. В некой стране средние значения этих случайных величин равны 140, 170 и 180 см, соответственно, а матрица ковариации такая:

.

В баскетбольной секции занимаются МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН два 15-летних мальчугана, у каких рост в 12 лет был 150 и 155 см, а в 15 – 180 и 182 см. Тренер считает, что уровень игры приблизительно схож. Он может 1-го из спортсменов советовать в спортивную школу и решил советовать более рослого. Верно ли он поступил? Указание: Предскажите рост 1-го и 2-го спортсмена МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН в 20 лет.

12. Функция рассредотачивания случайных величин x и h определяется по формуле

.

Отыскать возможность попадания случайной точки в прямоугольник

13. Найти возможность попадания точки с координатами (x, y) в область, определяемую неравенством , если координаты случайной точки (x, y) подчинены закону рассредотачивания:

при во всех других точках плоскости.

14. Плотность рассредотачивания системы 2-ух случайных величин МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН x и h заданы функцией

Отыскать: а) коэффициент а;

б) интегральную функцию;

в) возможность попадания точки (x, y) в квадрат ;

г) плотности рассредотачивания компонент.

15. Орудие стреляет в цель. Начало координат помещено в точку прицеливания. Координаты x, y точки попадания независимы и имеют плотности

.

Какова возможность попадания в круг радиуса R с МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН центром сначала координат?

16. Двумерная случайная величина имеет плотность рассредотачивания

. Отыскать функции плотности x и y.

17. Система случайных величин (x и h) умеренно распределена снутри круга R;

.

Отыскать плотности рассредотачивания этих случайных величин относительно друг дружку. Вычислить ковариацию.

18. Плотность рассредотачивания двумерной случайной величины (x и h) имеет вид при , . Отыскать К.

19. Плотность МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН вероятностей случайных величин x и h, распределенных на интервалах имеет вид . Найти интегральную функцию F(x,y) и числовые свойства .

20. Возможность первого обнаружения самолета на круглом, радиуса R экране радиолокатора, случайная величина с плотность рассредотачивания

,

где (x,y) – координаты точки обнаружения. Нужно отыскать: а) постоянную с; б) возможность МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН обнаружения цели в круге радиуса с центром сначала координат (он совпадает с центром экрана).

21. Задана плотность случайной величины x. Отыскать плотность случайной величины h, если

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Вне обозначенных промежутков плотность .

22. Случайная величина x распределена по закону

. Отыскать закон рассредотачивания величины .

23. Случайная величина x распределена по закону

. Отыскать закон рассредотачивания .

24. Случайная величина x умеренно МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН распределена на (a,b). Отыскать плотность рассредотачивания вероятностей случайной величины . Отыскать .

25. Случайная величина x распределена в интервале (0,¥) с плотностью . Отыскать плотность случайной величины .

27. Системы случайных величин (x и h) распределена нормально . Отыскать плотность рассредотачивания (r, j), если .

28. Случайная величина h находится в зависимости от x так, что , где МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН x подчиняется экспоненциальному закону рассредотачивания при =0 при x<0. Отыскать математическое ожидание и дисперсию x и y.

29. Индикатор радиального обзора навигационной станции представляет собой круг радиуса R. Отраженный от ориентира сигнал с равной вероятностью может показаться в виде пятна в хоть какой точке этого круга. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния центра МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН пятна от центра круга.

30. Система случайных величин подчинена нормальному закону

.

Найти математическое ожидание случайной величины .

31. Брак изделий вызывается 2-мя причинами: нарушением размеров и низким качеством материала. Плотности вероятностей брака от этих обстоятельств соответственно равны

,

где x и y (x>0, y>0) – процент бракованных деталей вследствие каждой из этих обстоятельств. Найти вероятности бракованных деталей МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН вследствие обеих обстоятельств и средний процент бракованных деталей.

32. Отыскать плотность рассредотачивания суммы x+y, если

.

33. Отыскать рассредотачивание суммы 2-ух умеренно распределенных на интервале (-1; 1) независящих случайных величин.

34. Две независящие случайные величины x и h имеют плотности рассредотачивания .

Отыскать плотность рассредотачивания произведения x y.

35. Две независящие случайные величины x МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН и h умеренно распределены на интервале (0;1). Отыскать возможность того, что их произведение не превосходит .


mobilnie-dengi-yandeksa-monitoring-smi-22-23-10-2012.html
mobilnie-stendi-chto-eto-takoe-referat.html
mobilnij-ekvajring-life-pay.html