Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат

А.В. Ястребов, Ярославский муниципальный педагогический институт

В работе сформулированы два положения, связанные с процессом формирования математических умений. Проведено их обсуждение исходя из убеждений неких современных концепций преподавания арифметики.

Главные утверждения

1-ое утверждение, которое мы назовём многофункциональностью упражнения, формулируется так: упражнение сформировывает, обычно, не одно умение, а целую группу умений.

Проиллюстрируем это Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат на материале курса алгебры и теории чисел. Для этого разглядим последующую задачку.

Задачка. Подкольцо Z кольца R порождает бинарное отношение T на R последующим образом:

.

Является ли T отношением эквивалентности? Если да, то найдите фактор-множество R/T.

Сначала отметим, что возникновение таковой задачки при исследовании отношений эквивалентности полностью естественно Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат. Вправду, при построении теории чисел в рамках базисного курса алгебры и теории чисел мы заместо включения Z R используем включение Gm Z, где Gm - огромное количество чисел, кратных m 0,  1, а заместо бинарного дела T - отношение сопоставления ≡ по модулю m ; сами же дела T и ≡ определяются единообразно.

Подтверждение того факта Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат, что T - отношение эквивалентности, основано на свойствах операций над вещественными числами. К примеру, транзитивность доказывается последующим образом:

Переходя к описанию фактор-множества несложно увидеть, что любые разные числа полусегмента [0, 1) попарно неэквивалентны, и что хоть какое вещественное число эвкивалентно одному из чисел данного полусегмента. Таким макаром, фактор Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат-множество выстроено, но итог построения недостаточно неплох, так как с этим же основанием можно именовать фактор-множеством многие другие объекты, к примеру, полусегмент [a, a+1) при случайном a, полуинтервал (а, а+1], объединение сектора и интервала и т.д. Для канонического описания фактор-множества необходимо вспомнить, что полусегмент [0, 1) находится во Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат взаимно-однозначном согласовании с полусегментом [0, 2 ), который, в свою очередь, находится во взаимно-однозначном согласовании с окружностью S, данной стандартными параметрическими уравнениями. Образуя композицию этих соответствий, мы можем получить каноническое отображение , определяемое параметрическими уравнениями

Итак, фактор-множество является окружностью: R/T=S.

Приведённая схема решения указывает, что задачка по собственному происхождению Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат является алгебраической, итог формулируется на геометрическом языке, а значимая часть подтверждения осуществляется при помощи техники, соответствующей для математического анализа. Вправду, данная задачка сформировывает группу разнохарактерных умений.

Отступим от основной полосы изложения и наметим развитие данной задачки в 2-ух направлениях, геометрическом и алгебраическом.

Отношение T на R порождает бинарное отношение T1 на огромном Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат количестве R2, которое определяется последующим образом:

Другими словами, две точки из R2 находятся в бинарном отношении T1, если их 1-ые координаты эквивалентны в смысле отношенияT.

Несложно обосновать, что T1 - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации R2 = R R по T1 необходимо профакторизировать по T 1-ый Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат множитель декартова произведения, откуда следует, что R2/T1=(R/T) R=S R. Разумеется, что декартово произведение окружности S на прямую R является цилиндром.

Аналогично, отношение T на R порождает бинарное отношение T2 на огромном количестве R2, которое определяется последующим образом:

Другими словами, две точки из R2 находятся Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат в бинарном отношении T2, если их соответствующые координаты эквивалентны в смысле дела T.

Несложно обосновать, что T2 - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации R2 = R R по T2 необходимо профакторизировать по T каждый множитель декартова произведения, откуда следует, что R2/T2 = (R/T) (R/T Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат)=S S. Декартово произведение 2-ух окружностей - это тор. Таким макаром, начальная алгебраическая задачка получила не плохое геометрическое продолжение.

Эту же задачку можно рассматривать исходя из убеждений теории групп, так как (R, +) - это группа. Каждое вещественное число a порождает класс эквивалентности ā R/T. Если найти операцию сложения на R Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат/T при помощи формулы то можно обосновать, что это определение корректно и что пара (R/T, +)образует группу.

Вспомним сейчас об отождествлении фактормножества с окружностью: классы эквивалентности ā и из фактормножества соответственно отождествляются с точками и на окружности. В силу этого операция сложения классов индуцирует операцию сложения точек: . Естественно поставить вопрос о Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат том, как отыскать положение точки C на окружности, зная положения точек A и B. Совсем аналогично можно выстроить операции над точками цилиндра и тора и поставить задачку о выяснении геометрического смысла этих операций. Таким макаром, как начальная задачка, так и её продолжение сформировывает целую группу умений из разных Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат разделов арифметики.

2-ое из главных утверждений, которое мы назовём многофакторностью умения, формулируется так: умение формируется, обычно, под воздействием многих разнохарактерных упражнений.

Дело в том, что умение нельзя считать сформированным в момент сообщения студенту его формально-логической базы, т.е. формулы, аксиомы, метода и т.д. Для его полного формирования нужна Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат как стадия пропедевтики, так и стадия внедрения. Последняя, в свою очередь, состоит из 2-ух частей: конкретного внедрения и вхождения умения в качестве составной части в более непростой комплекс интеллектуальных действий. К примеру, навряд ли можно считать, что учащийся завладел тригонометрическими формулами тогда, когда они были в Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат первый раз выведены педагогом либо даже получены без помощи других. Их полное освоение происходит в процессе решения тригонометрических уравнений и неравенств, подтверждения тригонометрических тождеств, исследования тригонометрических функций, вычисления тригонометрических интегралов, действий с всеохватывающими числами, записанными в тригонометрической форме, и.т.д. Умение приводить матрицу к ступенчатому виду оказывается стопроцентно сформированным в итоге Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат решения систем линейных уравнений, исследования таких систем с параметрами, внедрения способа неопределённых коэффициентов в алгебое и математическом анализе, выполнения более чем полутора 10-ов алгоритмов линейной алгебры. Умение дифференцировать формируется не только лишь при выполнении упражнений на технику дифференцирования, но также при исследовании функций и построении их графиков, при дифференцировании Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат интегралов с переменным верхним пределом, при исследовании функций многих переменных, при исследовании функций всеохватывающего переменного.

Перечисленные и многие другие примеры выявляют одно беспристрастное событие: многие математические умения и способности, которые начали формироваться ещё в школе, доводятся до совершенства в вузе в процессе решения упражнений и задач самых Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат различных типов.

Главные утверждения в свете неких методических концепций

Разглядим сформулированные выше главные утверждения исходя из убеждений трёх методических концепций: авторской концепции обучения арифметике как модели исследований [5], теоретических основ подготовки педагогов профильных школ О.А. Иванова [1] и технологии наглядно-модельного обучения Е.И. Смирнова [4].

Согласно первой из их обучение арифметике в Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат педвузе должно быть моделью исследовательской работы в сфере арифметики и методики её преподавания [5. С.17]. При всем этом одним из параметров научной работы, подлежащих проигрыванию в учебном процессе, является современность ведущихся исследовательских работ. Моделирование этого характеристики подразумевает введение студентов в круг объектов, изучаемых наукой в истинное введение студентов в Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат круг объектов, изучаемых наукой в текущее время, знакомство с обычными исследовательскими задачками [5. С.19-20]. Для педагогических вузов, в отличие от традиционных институтов, это очень непростая задачка, так как педагоги обязаны оставаться в рамках муниципальных образовательных эталонов, которые, к огорчению, довольно бедны.

Покажем, что невзирая на свою простоту, задачки предшествующего Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат раздела готовят студентов к восприятию таких современных математических понятий, как группы Ли и однородные места. В прошлом разделе было показано, что на окружности, цилиндре и торе можно ввести алгебраические операции, удовлетворяющие теоремам группы. Тем в поле зрения студентов появляется необыкновенное явление, когда предмет исследования несёт на для себя сразу две Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат разнотипные структуры, а конкретно, является и геометрическим объектом, и группой. Ретроспективный взор указывает, что эта ситуация встречалась довольно нередко, хотя ей может быть, и не уделялось подабающего внимания. Вправду, целый ряд отлично знакомых геометрических объектов несёт на для себя групповую структуру: ровная (группа R по сложению), ровная с выколотой точкой Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат (группа R*=R\ 0 по умножению), открытый луч (группа положительных чисел по умножению), плоскость (группа R2 по сложению), плоскость с выколотой точкой (группа C*=C\ 0 по умножению). К этому списку из восьми примеров можно при желании добавить спирали на всеохватывающей плоскости

любая из которых образует мультипликативную группу. Их исследование Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат естественно вписывается как в курс математического анализа, так и в курс дифференциальной геометрии. В перспективе, при исследовании кватернионов, можно разглядеть мультипликативную группу кватернионов с единичной нормой, либо другими словами, трёхмерную сферу, несущую на для себя групповую структуру. Отметим, что исследование кватернионов до недавнешнего времени врубалось в программку педагогических вузов: см., к Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат примеру, [2. С. 299]. Таким макаром, мы получаем довольно богатую "зоологию" особенных математических объектов, отталкиваясь от которой можно начать систематическое исследование групп Ли. Принципиально, что этот перечень примеров появился на базе очень обычной математической техники.

Для введения представлений об однородных местах наполним определение деяния группы на огромном количестве: группа G Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат действует на огромном количестве M, если задано отображение A:G M  M, удовлетворяющее свойствам

Aghx=Ag(Ah)x, g, h  G, x  M.

Aex=x;

тут - единица группы.

Каждое действие A порождает отношение эквивалентности T' на огромном количестве M данное последующим образом:

Фактормножество M/T' именуется однородным местом относительно Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат группы G.

Приведённая конструкция, невзирая на свою высшую абстрактность, имеет самое прямое отношение к курсу арифметики в педагогическом вузе. Вправду, в случае, когда G=Z, M=R, а действие задаётся равенством Ag(x)=g+x, обычная проверка указывает, что T=T', и, как следует, окружность является однородным местом относительно группы Z Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат. Естественно, что цилиндр и тор также оказываются однородными местами. В тезисах докладов [6] показано, что представление о трёх традиционных геометриях - евклидовой, сферической и Лобачевского - как об однородных местах может быть сформировано в базисном курсе геометрии для педагогического университета; более полное изложение см. в [7. С.177-184]. Итак, мы вновь Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат лицезреем, что обыкновенные задачки позволяют приобщать студентов к начальным понятиям продвинутой математической теории.

Необходимость такового приобщения становится тривиальной, если обратиться к теоретическим основам подготовки педагогов математических школ. Определяя цели их подготовки, О.А. Иванов пишет: "Обучение на математических факультетах институтов должно быть ориентировано на подготовку спеца - учителя высшей квалификации - с проф способностями Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат научного работника и учителя-методиста". При всем этом во главу угла ставятся так именуемые интегративные курсы, которые характеризуются 2-мя особенностями: во-1-х, изложение материала происходит не строго поочередно, а группируется вокруг определённых понятий, математических мыслях и утверждений; во-2-х, в этом изложении понятия и идеи простой арифметики связываются Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат с общими математическими понятиями, мыслями и утверждениями, известными студентам по базисным университетстким курсам [1. С.53]. Теоретико-методической основой соответственного практикума по решению задач является понятие пучка задач, под которым понимается "такая их совокупа, определяющей чертой которой является наличие разнотипных взаимосвязей меж отдельными составляющими эту совокупа задачками, обеспечивающее включение оборотной Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат связи в процесс их решения" [1. С. 58]. (Курсив мой - А.Я.)

Несложно созидать, что обсуждавшиеся выше математические задачки как раз и характеризуются наличием разнотипных взаимосвязей меж рассматриваемыми объектами, группируясь при всем этом вокруг 1-го понятия - отношений эквивалентности. Таким макаром, они могут рассматриваться и в качестве малеханького куска интегративного лекционного курса Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат, и в качестве пучка задач из сопутствующего ему практикума.

Разработка наглядно-модельного обучения уделяет существенное внимание процессу восприятия математических объектов. Так, Е.И. Смирнов пишет: "Процесс восприятия... подразумевает наличие узловых, опорных, соответствующих, специфичных параметров и свойств объекта восприятия, будь то приёмы деятельности, отражающие отдельное математическое познание, либо организованный набор Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат познаний.

... Животрепещущей является неувязка таковой организации процесса обучения арифметике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают главные, значительные, главные стороны предметов и явлений..." [4. С. 103].

Приведённые выше функциональные упражнения полностью учитывают обозначенную закономерность, так как сформировывают представления о базовых приёмах деятельности математика: о факторизации и об отождествлении изоморфных объектов. Их узловой Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат, опорный нрав обоснован, кроме остального, их повторяемостью во времени. Вправду, к ним можно обращаться с разных точек зрения при исследовании отношений эквивалентности, всеохватывающих чисел, теории групп, теории функций всеохватывающего переменного, оснований геометрии, так как окружность можно трактовать самыми различными методами: как огромное количество всеохватывающих чисел с единичным Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат модулем, как мультипликативную подгруппу группы C*, как огромное количество чисел вида eiφ, как однородное место.

Возможность неоднозначной трактовки 1-го и такого же математического явления "сформировывает у будущих учителей принципиальное проф умение - созидать за единой формой различное содержание, объединённое единой логической основой" [4. С. 209].

Мы лицезреем, что функциональные упражнения, возникшие, казалось бы, из чисто Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат математических суждений, оказываются полезными исходя из убеждений трёх разных педагогических концепций, появившихся независимо друг от друга. Мы трактуем это событие как проявление закономерности, сформулированной А. Пуанкаре: "Размышлять о том, каким образом идеальнее всего ввести понятия в девственный мозг ребёнка, - означает в то же время размышлять о том, каким образом Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат эти понятия были приобретены нашими праотцами; означает, как следует, размышлять об их настоящем происхождении, а это, по существу, означает размышлять об их настоящей природе" [3. С. 286].

Перечень литературы

Иванов О.А. Теоретические базы построения специальной математической и методической подготовки педагогов профильных школ. СПб.: Изд-во С.-Петерб Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат. ун-та, 1997.

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

Смирнов Е.И. Разработка наглядно-модельного обучения арифметике. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. пед. ун-та, 1998.

Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс - параллели и связи. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. пед. ун Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат-та, 1997.

Ястребов А.В. Опыт изложения в задачках простых фактов геометрии Лобачевского // Интернациональная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия. Казань, 18-22 августа 1992. Тезисы докладов Ч.II. Казань: Изд-во Казанского ун-та, С.83-84.

Ястребов А.В. Моделирование исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического университета: Дис. ... д-ра пед Многофункциональность упражнения и многофакторность умения - реферат. наук. / Ярославск. гос. пед. ун-т им. К.Д. Ушинского. / Ярославль, 1997. 386 с.


mnogorazryadnie-dvoichnie-summatori.html
mnogoshp-golovki-i-nasadki-klassifikaciya-osobennosti-konstrukcij.html
mnogoslojnij-ploskij-neorogovevayushij-epitelij.html